核心问题：怎样用两个数生成一个代表数
给你两个正数 a 和 b。找一个数来「代表」它们——你怎么找？
有两种天然策略：
- 加法思路：加起来除以 2。得到的是它们的中点——算术平均 A = (a+b)/2。
- 乘法思路：乘起来开平方。得到的是几何平均 G = √(ab)。
两个策略回答同一个问题，走了不同的运算路径。
两个场景
用尺子量桌子
你用一把尺子量一张桌子的长度，两次分别量出 100.1cm 和 99.9cm。怎么处理？
取平均：(100.1 + 99.9)/2 = 100.0。没人会用乘法——√(100.1 × 99.9) 几乎相等但没有道理。这里，两次测量值的差异来自随机误差，真值就在它们之间。这里的直觉是指向算术平均的。
不准的天平
现在换一个场景。一架天平两臂长度不等。第一次秤得质量 a，交换物体和砝码后再秤得 b。你有两个测量值，怎么确定物体的真实质量？
正常人的第一反应：取个简单平均——(a+b)/2。但物理定律给出的是另一个答案。根据力矩平衡：
l₁·M = l₂·a 且 l₂·M = l₁·b
两式相乘消去 l₁l₂，得 M² = ab，即 M = √(ab)。这里，物理定律给出的答案是几何平均。
两个例子一起看
| 尺子量桌子 | 不准的天平 | |
|---|---|---|
| 两个值的关系 | 真值在中间 | 真值偏一边 |
| 适用的平均 | 算术平均 | 几何平均 |
| 差异来源 | 随机误差 | 系统误差（臂不等长） |
几何平均的构造
问题来了：√(ab) 只是一个代数表达式。如果不允许计算、不允许开方，怎么「作出」这个数？
几何意义：等积正方形的边长
√(ab) 有一个直观解释：它是边长分别为 a 和 b 的矩形的等面积正方形的边长。矩形面积 ab，正方形面积 (√(ab))²——两者相等。
用一句话说：算术平均是线段的折中（加法），几何平均是面积的折中（乘法）。
尺规作图
给定线段 a 和 b，用尺规作出 √(ab)：
- 把 AC = a 和 CB = b 首尾相接，AB 为直径画半圆。
- 过 C 作 AB 的垂线，交半圆于 D。
- CD 就是 √(ab)。
为什么？△ACD ∼ △DCB，所以 AC/CD = CD/CB，即 a/CD = CD/b。CD² = ab，CD = √(ab)。这是几何比例——a : CD = CD : b——这就是「几何平均数」名字的由来。
证明基本不等式
在同一个图中，OD 是半径，等于 (a+b)/2——恰好就是算术平均。
在同一圆中，半弦不会比半径长。除非 C 恰好与圆心 O 重合（即 a=b），这时半弦变成半径，两者相等。
所以一眼看出：
CD ≤ OD，即 √(ab) ≤ (a+b)/2
不等号方向不需要背——脑子里有那个圆、那条弦、那条半径，关系自己就出来了。几何平均总是被拉向较小的数——因为乘积受小数拖累比和更严重。1×9 的几何平均是 3，算术平均是 5。
当 a=b 时两条路汇合：中点就是等积正方形的边长。
四种平均数一览
四种平均数统一在一个框架里：
| 平均数 | 中项关系 | 值 |
|---|---|---|
| 调和平均 H | 倒数等差数列 | 2ab/(a+b) |
| 几何平均 G | 等比数列：a/G = G/b | √(ab) |
| 算术平均 A | 等差数列：A−a = b−A | (a+b)/2 |
| 平方平均 Q | （均方根） | √((a²+b²)/2) |
大小关系：调和 ≤ 几何 ≤ 算术 ≤ 平方。等号都在 a=b 时成立。
调和平均：先把两个数取倒数、做算术平均、再倒回来。它在处理「速率」类问题（速度、电阻、工效）时自然出现——因为速率是分母里有量的东西。
平方平均：先平方、做算术平均、再开方。均方根（RMS），交流电有效值、气体分子速率都用它。