这个口诀的正确打开方式
「一正二定三相等」不是三个并列的条件，是有顺序的，不能颠倒。
先判断一正（能不能开始），再判断二定（放缩后是不是常数），最后判断三相等（等号能不能取到）。跳过任何一步，或者颠倒顺序，就会得出错的答案。
一正
基本不等式 √(ab) ≤ (a+b)/2 要求 a, b ≥ 0。如果题目给的式子含负数或符号不确定，需要先处理符号。这一步很少出问题——没有题会在这里为难学生。
二定：不是定值就错了
这是三条里最关键、最容易误解的一条。直接看一个反例。
已知 0 < x < ½，求 x(1−2x) 的最大值。
用基本不等式：x(1−2x) ≤ ((x+(1−2x))/2)² = ((1−x)/2)²。
当且仅当 x = 1−2x，即 x = ⅓ 时等号成立。代入得最大值 1/9。
这个答案对吗？不对。取 x = ¼，x(1−2x) = ⅛，比 1/9 大。明明每一步都用了基本不等式，等号也取到了——为什么错了？
问题在：不等式的右边是 ((1−x)/2)²，它不是一个常数。
基本不等式告诉你 f(x) ≤ g(x)，且 f(⅓) = g(⅓)。但 g(x) 自己也在变——你只是在 x=⅓ 处算出了 f 和 g 的相等值，不等于 f 在全局的最大值。
f(x) ≤ g(x)，等号在 x₀ 成立 → 不能推出 f(x₀) 是最大值。
f(x) ≤ k（k 为常数），等号在 x₀ 成立 → 能推出 f(x₀) 是最大值。
图 6-1：x(1−2x) 始终 ≤ ((1−x)/2)²，右边随 x 变化——等号处（x=⅓）不是最大值。
这就是「二定」的本质：放缩之后的右边必须是常数。不是常数，等号再漂亮也没用。
x(1−2x) = ½·(2x)(1−2x) ≤ ½·((2x+(1−2x))/2)² = ½·(½)² = ⅛。
当且仅当 2x = 1−2x，即 x = ¼ 时等号成立。最大值是 ⅛。
图 6-2：放缩后右边是常数 ⅛——等号处就是最大值。
区别在哪？配凑了一个 2，让 (2x) 和 (1−2x) 相加时消掉了 x——右边变成了常数 ⅛。
不是定值就一定错吗？
不一定。有一种情况：用基本不等式后右边含变量，但通过和题目的另一个条件联立，解出了包含常数的下界。
已知 1/a + 2/b = √(ab)（a,b > 0），求 ab 的最小值。
做法：1/a + 2/b ≥ 2√(2/ab)。右边 √(2/ab) 含 ab——不是常数。但题目给了 1/a + 2/b = √(ab)，所以：
√(ab) ≥ 2√(2/ab) ⇒ ab ≥ 2√2
这里 2√2 是常数。基本不等式提供的是中间步骤的放缩，最终通过解不等式得到了常数的界。
所以更准确地说：最终用来判定最值的那个界必须是常数。中间步骤的放缩可以是变量的——只要你最终能消掉。
三相等
等号条件是 a = b。这条不是走个过场——选择题经常在这里布陷阱：算出来的最值，等号根本取不到。
已知 x > 1，求 y = x + 4/(x−1) 的最小值。
学生常见做法：直接用基本不等式，y = x + 4/(x−1) ≥ 2√(4x/(x−1))，右边不是常数——走不通。
但更隐蔽的错误是：令 t = x−1 > 0，则 x = t+1，y = t + 4/t + 1 ≥ 2√4 + 1 = 5。等号在 t = 2 即 x = 3 时成立。x = 3 在定义域 (1, +∞) 内——这个没问题。
真正的陷阱题：如果题目限定 x > 4，等号需要的 x = 3 就不在定义域内了。此时不等式的方向仍然正确（y ≥ 5 仍然成立），但 5 不是能取到的最小值——真正的最小值需要另外求。
还有一种陷阱：多个等号条件必须同时满足。比如 a + 1/a ≥ 2 和 b + 1/b ≥ 2 分别要求 a=1 且 b=1。如果题目条件限制了 a ≠ b，两个等号不可能同时成立——那最终的不等式能成立，但最值取不到。
总结
一正 → 二定 → 三相等，顺序不能颠倒。二定是核心——放缩后右边必须是常数。不是常数的话，要么重新配凑，要么看看能不能通过联立解出常数。