先看一个你早就知道的例子
一次函数 y = 2x − 3。你见过它的图像——一条斜线，穿过 x 轴在 x = 1.5 的地方。
对着这张图，你可以回答三个不同的问题：
- 方程 2x − 3 = 0：图像在哪里和 x 轴相交？——x = 1.5。
- 不等式 2x − 3 > 0：图像在 x 轴上方的部分对应哪些 x？——x > 1.5。
- 不等式 2x − 3 < 0：图像在 x 轴下方的部分对应哪些 x？——x < 1.5。
三个问题，一张图。方程和不等式不是新东西——它们只是对着同一个函数，问了不同的问题。
一次函数你早就掌握了。现在把直线换成抛物线——逻辑完全一样。
三样东西，一个主角
给你一个二次函数 f(x) = ax² + bx + c。画出来是一条抛物线。
方程 f(x) = 0 在问：抛物线在哪里碰到 x 轴？
不等式 f(x) > 0 在问：抛物线在 x 轴上方的部分，对应哪些 x？
不等式 f(x) < 0 在问：抛物线在 x 轴下方的部分，对应哪些 x？
主角是抛物线。方程和不等式只是你向它提的两个问题。
画图是第一件事
拿到一道不等式的题，不要从算 Δ 开始。从画图开始。
- 开口朝上还是朝下？（看 x² 前面的系数是正还是负。如果是负，两边乘以 −1 变成正，但不等号要反过来。）
- 和 x 轴有没有交点？交在哪？（解对应的方程，或者算 Δ。）
- 画一个大概的抛物线。必须标出开口方向、和 x 轴的交点位置。
图画完了，答案就在图上了。下一步只是把它翻译成数学语言。
对着图，读出答案
以 f(x) = x² − 4x + 3 为例。分解得 (x−1)(x−3)，两根在 1 和 3。开口向上。
现在问：x² − 4x + 3 > 0 的解集是什么？
翻译一下：抛物线的哪部分在 x 轴上方？——两根之外的部分。因为开口向上，所以 x 轴以上的是左右两段：x < 1 或者 x > 3。
那 x² − 4x + 3 < 0 呢？——抛物线在 x 轴下方的部分，在两根之间：1 < x < 3。
再看一个：x² − 2x + 1 < 0。x² − 2x + 1 = (x−1)²，是一个完全平方。图像开口向上，最低点在 (1, 0)，恰好切在 x 轴上。抛物线的任何部分都不会跑到 x 轴下面去。所以解集是空集 ∅。
四种情况，一张图搞定
确定了开口向上之后，根据 Δ 只有四种可能：
| Δ | 抛物线长什么样 | f(x) > 0 | f(x) < 0 |
|---|---|---|---|
| Δ > 0 | 穿过 x 轴，有两个交点 | 两头 | 中间 |
| Δ = 0 | 切在 x 轴上，一个切点 | 除切点外全部 | 没有 |
| Δ < 0 | 完全在 x 轴上方 | 全部实数 | 没有 |
每一行不需要背。拿一张纸画出来：画出抛物线，标上 x 轴，看看哪部分在上面、哪部分在下面。你的眼睛会告诉你答案。
碰到参数不要慌
如果不等式中带有参数，比如 x² − ax + 1 > 0——a 是未知的常数。这时候抛物线的形状不确定，不能直接画一张固定的图。但思路不变：还是先搞清楚抛物线的样子，再回答「哪部分在 x 轴上方」。
只是这次，抛物线的样子取决于 a。我们需要把 a 的可能情况分类讨论。按顺序问三个问题：
- 开口朝哪？这里 x² 的系数是 1，固定向上。如果系数也含参数，先按正、负、零分三类。
- 有没有和 x 轴相交？算 Δ = a² − 4。当 a > 2 或 a < −2 时 Δ > 0，有两个交点；a = ±2 时 Δ = 0，有一个切点；−2 < a < 2 时 Δ < 0，没有交点。
- 交点在哪？当有交点时，用求根公式算出两根的具体表达式，再根据 a 的范围判断两根的大小关系。
三个问题不能同时想。每次只回答一个，答完一个再往下走。把大的混乱拆成三个小步骤，每一步都只处理一件事。